Question

18．已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x₁）=f（x₂），探究x₁+x₂與0的大小關系，并用代數(shù)方法證明之．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的運算法則求出f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0的x取值范圍即可得到單調區(qū)間；
（2）當f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時，不妨設x₁＜x₂．由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．利用導數(shù)先證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x₂∈（0，1），可得f（x₂）＜f（-x₂）．即f（x₁）＜f（-x₂）．由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調遞增，因此得證．

解答 解：（1）f′（x）=（1-x）′e^x+（1-x）（e^x）′=-xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
（2）當x＜1時，由于1-x＞0，e^x＞0，得到f（x）＞0；
同理，當x＞1時，f（x）＜0．
當f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時，不妨設x₁＜x₂．
由（1）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證（1-x）e^x＜（1+x）e^-x．
此不等式等價于（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
令g（x）=（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，則g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
從而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調遞增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

點評 本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、等價轉化問題等基礎知識與基本技能，需要較強的推理能力和計算能力．