Question

8．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₄、S₂、S₃成等差數(shù)列，且a₂+a₃+a₄=-18，若S_n≥2016，則n的取值范圍為大于等于11的奇數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，由S₄、S₂、S₃成等差數(shù)列，可得2S₂=S₄+S₃，化為2a₃+a₄=0，又a₂+a₃+a₄=-18，聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}{q=-2}\\{{a}_{1}=3}\end{array}\right.$，由于S_n≥2016，化為-（-2）ⁿ≥2015，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，∵S₄、S₂、S₃成等差數(shù)列，∴2S₂=S₄+S₃，∴2a₃+a₄=0，又a₂+a₃+a₄=-18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（2{q}^{2}+{q}^{3}）=0}\\{{a}_{1}q（1+q+{q}^{2}）=-18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{q=-2}\\{{a}_{1}=3}\end{array}\right.$，
∵S_n≥2016，∴$\frac{3[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$≥2016，化為-（-2）ⁿ≥2015，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不成立，舍去．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，化為2ⁿ≥2015，解得：n≥11．
∴n的取值范圍為大于等于11的奇數(shù)．
故答案為：大于等于11的奇數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．