Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y=x-1；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，求出切點坐標(biāo)，然后求出，從而求出的值即為切線的斜率，利用點斜式可求出切線方程；
（Ⅱ）先求導(dǎo)函數(shù)，要使在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需在（0，+∞）內(nèi)恒成立，然后將分離，利用基本不等式可求出的取值范圍；
（III）根據(jù)g（x）在[1，e]上的單調(diào)性求出其值域，然后根據(jù)（II）可求出的最大值，要使在[1，e]上至少存在一點x0，使得成立，只需，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)a=1時，函數(shù)， ∴f（1）=1-1-ln1=0.，

曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=1+1-1=1．

從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=x-1， 即y=x-1．

（2）．

要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．

即：ax2-x+a≥0得：恒成立．

由于， ∴， ∴

∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，實數(shù)a的取值范圍是．

（3）∵在[1，e]上是減函數(shù)

∴x=e時，g（x）min=1，x=1時，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]

f'（x）=令h（x）=ax2-x+a

當(dāng)時，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜1

又在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]

而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即≥1

解得a≥ ∴實數(shù)a的取值范圍是[，+∞）