Question

【題目】設(shè)函數(shù) （為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，等價于它的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，2）內(nèi)有兩個不同的零點．

試題解析：（1）.函數(shù)的定義域為

由可得,

所以當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）.由1知,時,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,

故在內(nèi)不存在極值點;

當(dāng)時,設(shè)函數(shù),,

因為,

當(dāng)時,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;

故在內(nèi)不存在兩個極值點;

當(dāng)時,得時,,函數(shù)單調(diào)遞減;

時,,函數(shù)單調(diào)遞增;

所以函數(shù)的最小值為,

函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點,

當(dāng)且僅當(dāng),解得.

綜上所述,函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點時,的取值范圍為.