Question

已知函數(shù)f（x）=

1+x

a(1-x)

lnx．
（1）設(shè)a=1，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意x∈（0，1），f（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1，f（x）=

1-x

1+x

lnx，定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）．f′(x)=

2lnx

(1-x)2

+

1+x

(1-x)x

=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由已知a≠0，因?yàn)閤∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0．由此根據(jù)實(shí)數(shù)a的符號(hào)進(jìn)行分類討論，能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）a=1，f（x）=

1-x

1+x

lnx，定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）．
f′(x)=

2lnx

(1-x)2

+

1+x

(1-x)x

=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

．…（2分）
設(shè)g（x）=2lnx+

1-x2

x

，則g′(x)=

-(x-1)2

x2

．
因?yàn)閤＞0，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，又g（1）=0，
于是x∈（0，1），g（x）＞0，f′（x）＞0；
x∈（1，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由已知a≠0，
因?yàn)閤∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）＞0．不合題意．…（8分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，1），由f（x）＜-2，得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．
設(shè)h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，則x∈（0，1），h（x）＜0．
h′(x)=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

．
設(shè)m（x）=x²+（2-4a）x+1，方程m（x）=0的判別式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
又h（1）=ln1+

2a(1-1)

1+1

=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0，
對(duì)任意x∈（x₀，1），m（x）＜0，h ′（x）＜0，h（x）在（x₀，1）上是減函數(shù)，
又因?yàn)閔（1）=0，
所以x∈（x₀，1），h（x）＞0．不合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．