Question

9．已知拋物線y²=2px（p＞0）上點(diǎn)T（3，t）到焦點(diǎn)F的距離為4．
（1）求t，p的值；
（2）設(shè)A，B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線y²=2px （p＞0）上點(diǎn)T（3，t）到焦點(diǎn)F的距離為4，根據(jù)拋物線的定義，可求t，p的值；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+t，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，可求t的值，即可求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)

解答 解：（1）由拋物線定義得，$3+\frac{p}{2}=4⇒p=2$…（2分）
所以拋物線方程為y²=4x，…（3分）
代入點(diǎn)T（3，t），可解得$t=±2\sqrt{3}$．…（5分）
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+n，$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+n}\end{array}}\right.$消元得：y²-4my-4n=0，則：y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n…（8分）
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$得：$\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}+{y_1}{y_2}=5$，所以：y₁y₂=-20或y₁y₂=4（舍去）
即-4n=-20⇒n=5，所以直線AB的方程為x=my+5，
所以直線AB過定點(diǎn)P（5，0）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．