Question

1．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\frac{x-2}{x+1}$，若對(duì)任意實(shí)數(shù)$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 由分離常數(shù)法化簡(jiǎn)解析式，并判斷出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化為：f（|t+a|）＞f（|t-1|），利用單調(diào)性得|t+a|＞|t-1|，化簡(jiǎn)后轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，根據(jù)關(guān)于t的一次函數(shù)列出a的不等式進(jìn)行求解．

解答 解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{x-2}{x+1}$=1-$\frac{3}{x+1}$，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（t+a）-f（t-1）＞0得，f（t+a）＞f（t-1），
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（|t+a|）＞f（|t-1|），則|t+a|＞|t-1|，
兩邊平方得，（2a+2）t+a²-1＞0，
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2a+2）+{a}^{2}-1＞0}\\{2（2a+2）+{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a＞0}\\{{a}^{2}+4a+3＞0}\end{array}\right.$，
解得，a＞0或a＜-3，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）∪（0，+∞）．
故答案為：（-∞，-3）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，以及恒成立的轉(zhuǎn)化問題，二次不等式的解法，屬于中檔題