Question

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導數(shù)f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），則不等式f（x）＜x+1的解集為

1. A.
   （1，+∞）
2. B.
   （-∞，-1）
3. C.
   （-1，1）
4. D.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

A
分析：構造函數(shù)g（x）=f（x）-x-1，g'（x）=f′（x）-1＜0，從而可得g（x）的單調性，結合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．
解答：令g（x）=f（x）-x-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）=f（x）-x-1為減函數(shù)，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（x）＜x+1的解集?g（x）=f（x）-x-1＜0=g（1）的解集，
即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）-x-1為減函數(shù)，
∴x＞1，即x∈（1，+∞）．
故選A．
點評：本題利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，可構造函數(shù)，考查所構造的函數(shù)的單調性是關鍵，也是難點所在，屬于中檔題．