Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記

（1）求實數(shù)、的值；

（2）若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）對于任意滿足的自變量，，，，，，如果存在一個常數(shù)，使得定義在區(qū)間上的一個函數(shù)，有恒成立，則稱為區(qū)間上的有界變差函數(shù)，試判斷是否區(qū)間上的有界變差函數(shù)，若是，求出的最小值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）是有界變差函數(shù);的最小值為

【解析】

（1）由的對稱軸得在區(qū)間[上是增函數(shù)，得方程組求出，即可；（2）由（1）求出的表達式，解不等式求出即可；（3）由的表達式得為上的單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)有界變差函數(shù)的概念判斷即可.

（1），

又，在區(qū)間上是增函數(shù)，

故，，

解得：，.

（2）由（1）得：，

故是偶函數(shù)，

不等式可化為，

解得：.

（3），

為上單調(diào)遞減，上的單調(diào)遞增函數(shù)，

則對于任意滿足的自變量，，，，，

有

，

存在常數(shù)，使得.

函數(shù)為區(qū)間上的有界變差函數(shù).即的最小值為.