Question

已知函數(shù)f（x）=x³，g （x）=x+．
（Ⅰ）求函數(shù)h （x）=f（x）-g （x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{ a_n}（n∈N^*）滿足a₁=a（a＞0），f（a_n+1）=g（a_n），證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=-1＜0，h（2）=6-，再研究函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，以確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可
（Ⅱ）記h（x）的正零點(diǎn)為x，即，當(dāng)a＜x時(shí)，由a₁=a，即a₁＜x，而，a₂＜x．由此猜測a_n＜x．當(dāng)a≥x時(shí)，由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，h（a）＞h（x）=0，從而a₂＜a，由此猜測a_n＜a．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=-1＜0，h（2）=6-，則x=0為h（x）的一個(gè)零點(diǎn)，且h（x）在（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴h（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)．
由h（x）=，記，則，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，故可判斷出h（x）在（0，+∞）僅有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，h（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．
（Ⅱ）記h（x）的正零點(diǎn)為x，即，
（1）當(dāng)a＜x時(shí)，由a₁=a，即a₁＜x，而，∴a₂＜x．
由此猜測a_n＜x．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁＜x，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)a_k＜x成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由，知a_k+1＜x．
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1＜x成立．
故對(duì)任意的n∈N^*，a_n≤x成立．
（2）當(dāng)a≥x時(shí)，由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（x，+∞）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，∴h（a）h（x）=0，從而a₂≤a，由此猜測a_n≤a．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁≤a，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)a_k＜a成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由，知a_k+1＜a．
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1＜a成立．故對(duì)任意的n∈N^*，a_n≤a成立．
綜上所述，存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)用，解題時(shí)要注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用和數(shù)不歸納法的證明過程．