Question

13．已知點A（0，2），拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，線段FA交拋物線于點B，過B作準線l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，求p的值．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可得BM=BF，又 AM⊥MF，根據(jù)直角三角形斜邊的中點是外心可得故B 為線段AF的中點，求出B的坐標代入拋物線方程求得 p值．

解答 解：由拋物線的定義可得BM=BF，F(xiàn)（$\frac{1}{2}$p，0），又 AM⊥MF，故B為線段AF的中點，
∴B（$\frac{1}{4}$p，1），
把B（$\frac{1}{4}$p，1）代入拋物線y²=2px（p＞0）得，
1=2p×$\frac{1}{4}$p，
∴p=$\sqrt{2}$

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，判斷B為線段AF的中點，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．