Question

在△ABC中，三邊長a，b，c滿足a³+b³=c³，則△ABC是

 

．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：依題意可知∠C為△ABC中的最大角，且（

a

c

）³+（

b

c

）³=1；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可證得（

a

c

）²＞（

a

c

）³，（

b

c

）²＞（

b

c

）³，利用不等式的性質(zhì)與余弦定理即可判斷出答案．

解答： 解：∵a³+b³=c³，
∴∠C為△ABC中的最大角，且（

a

c

）³+（

b

c

）³=1；
∴0＜a＜c，0＜b＜c，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
∴（

a

c

）²＞（

a

c

）³，（

b

c

）²＞（

b

c

）³，
∴（

a

c

）²+（

b

c

）²＞（

a

c

）³+（

b

c

）³=1，
∴c²＜a²+b²，由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，
∴∠C為銳角．
∴△ABC為銳角三角形．
故答案為：銳角三角形．

點評：本題考查三角形形狀的判定，推出平方關系式與立方關系式，也是難點，考查轉(zhuǎn)化思想與創(chuàng)新思維能力，屬于難題