Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，短軸上的兩個頂點為A，B（A在B的上方），且四邊形AF1BF2的面積為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設動直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點M，N，直線y=1與直線BM交于點G，求證：A，G，N三點共線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C的離心率 ，∴b=c，因此四邊形AF1BF2是正方形．

∴a2=8，b=c=2．

∴橢圓C的方程為

（2）解：證明：將已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，

△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k ．

由韋達定理得： ①，xMxN= ，②

設M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），

MB方程為：y= ，則G（ ，1），

∴ ， ，

欲證A，G，N三點共線，只需證 ， 共線，

即 （kxN+2）=﹣xN成立，化簡得：（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）

將①②代入易知等式成立，則A，G，N三點共線得證

【解析】（1）橢圓C的離心率 ，可得b=c，四邊形AF1BF2是正方形，即a2=8，b=c=2．（2）將已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24=0

設M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），

MB方程為：y= ，則G（ ，1），

欲證A，G，N三點共線，只需證 ， ，共線，即只需（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）即可．