Question

7．在如圖所示的五面體ABCDEF中，矩形BCEF所在的平面ABC垂直，AD∥CE，CE=2AD=2，M是BC的中點，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC=2．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：DE⊥平面BDC，并求三棱錐C-DBE的體積．

Answer 1

分析 （1）取BE的中點N，連結(jié)DN，MN，推導(dǎo)出四邊形ADMN是平行四邊形，從而DN∥AM，由此能證明AM∥平面BDE．
（2）由余弦定理得BC=$\sqrt{3}$，由勾股定理得BC⊥AC，再由BC⊥CE，從而BC⊥平面ACED，進(jìn)而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面BCD，三棱錐C-DBE的體積V_C-BDE=V_B-CDE，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取BE的中點N，連結(jié)DN，MN，則MN∥CE，且MN=$\frac{1}{2}$CE，
又AD∥CE，且AD=$\frac{1}{2}$CE，∴AD∥MN，且AD=MN，
∴四邊形ADMN是平行四邊形，∴DN∥AM，
又DN?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（2）在△ABC中，∵∠BAC=60°，AB=2AC=2，
由余弦定理得BC=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得∠ACB=90°，BC⊥AC，
又BC⊥CE，且CE∩AC=C，∴BC⊥平面ACED，
又DE?平面ACED，∴DE⊥BC，
∵DC∩BC=C，∴DE⊥平面BCD，
∴三棱錐C-DBE的體積：
V_C-BDE=V_B-CDE=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDE}×BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．