Question

已知函數(shù)f（x）=

a•3x+a-2

3x+1

，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0即可得出；
（2）f（x）在R上單調(diào)遞增．利用增函數(shù)的定義即可得出．
（3）利用函數(shù)奇偶性單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=

a+a-2

30+1

=0．
解得a=1．
（2）∵f（x）=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

，∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
證明如下：?x₁＜x₂，0＜3x1＜3x2，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-(1-

2

3x2+1

)=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
（3）不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0，
化為不等式f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m）．
∴3m²-m+1＜3-2m，
化為3m²+m-2＜0，
解得-1＜m＜

2

3

．
∴不等式的解集為{x|-1＜m＜

2

3

}．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．