若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且當(dāng)x>0時,f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)求證:f(x)是R上的增函數(shù);
(3)若f(4)=5,不等式f(cos2x+asinx-2)<3對任意的x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)通過令x1=x2=0,即可得到f(0)=1;
(2)要判斷函數(shù)的增減性,就是在自變量范圍中任意取兩個x1<x2∈R,判斷出f(x1)與f(x2)的大小即可知道增減性.
(3)已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,則f(4)=f(2)+f(2)-1⇒f(2)=3.由不等式f(cos2x+asinx-2)<3,得f(cos2x+asinx-2)<f(2),由(2)知,f(x)是R上的增函數(shù),得到cos2x+asinx-2<2,利用換元法轉(zhuǎn)化函數(shù),通過函數(shù)的對稱軸的討論,利用函數(shù)的最小值大于0,求出a的范圍即可.
解答:解:(1)定義在R上的函數(shù)f(x)對任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,
令x1=x2=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)-1⇒f(0)=1,
(2)由(1)知,f(x)-1為奇函數(shù),
∴f(-x)-1=-[f(x)-1],
任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,
∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-[f(x1)-1]=
f(x2)-f(x1)+1.
∵當(dāng)x>0時,f(x)>1,
∴f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函數(shù).
(3)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,
∴f(4)=f(2)+f(2)-1⇒f(2)=3.
由不等式f(cos2x+asinx-2)<3,得f(cos2x+asinx-2)<f(2),
由(2)知,f(x)是R上的增函數(shù),∴cos2x+asinx-2<2,
⇒cos2x-asinx-4<0.⇒sin2x-asinx+3>0.令t=sinx∈[-1,1],則g(t)=t2-at+3=(t-
a
2
2-
a2
4
+3.
故只需g(t)min>0.
當(dāng)
a
2
≤-1
即a≤-2時,g(t)min=g(-1)=a+4>0,⇒-4<a≤-2.
當(dāng)-1<
a
2
<1
即-2<a<2時,g(t)min=g(
a
2
)=-
a2
4
+3>0,⇒-2<a<2.
當(dāng)
a
2
≥1
即a≥2時,g(t)min=g(1)=-a+4>0,⇒2≤a<4.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍:(-4,4).
點(diǎn)評:考查學(xué)生掌握判斷函數(shù)奇偶性能力和判斷函數(shù)增減性的能力,靈活運(yùn)用題中已知條件的能力,考查分類討論思想的應(yīng)用.
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①若函數(shù)f(x)是f(x)=x2(x∈R),則f(x)一定是單函數(shù);
②若f(x)為單函數(shù),x1、x2∈A且x1≠x2,則f(x1)≠f(x2);
③若定義在R上的函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性,則f(x)一定是單函數(shù);
④若函數(shù)f(x)是周期函數(shù),則f(x)一定不是單函數(shù);
⑤若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x)一定是單函數(shù).
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②④
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