Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求證：f（x）在（-∞，0]上也是增函數(shù)；
（2）對任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷f（x）在（-∞，0]上也是增函數(shù)；
（2）利用（1）函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0，為cos2θ-3＞-2m+sinθ?m＞

-cos2θ+sinθ+3

2

，然后表達(dá)式的最大值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)x₁＜x₂≤0，則-x₁＞-x₂≥0．
∵f （x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f （-x₁）＞f （-x₂）．…（2分）
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f （-x₁）=-f （x₁），f （-x₂）=-f （x₂）．…（2分）
于是-f （x₁）＞-f （x₂），即f （x₁）＜f （x₂）．
所以f （x）在（-∞，0]上也是增函數(shù)．…（2分）
（2）由（1）知，函數(shù)f （x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．…（1分）
∵f （x）為奇函數(shù)，
∴f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0
?f（cos2θ-3）＞-f（2m-sinθ）
?f（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ）…（2分）
由（1）知f （x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴f(cos2θ-3)＞f(-2m+sinθ)?cos2θ-3＞-2m+sinθ?m＞

-cos2θ+sinθ+3

2

?m＞sin2θ+

1

2

sinθ+1=(sinθ+

1

4

)2+

15

16

．…（3分）
∵θ∈R，∴當(dāng)sinθ=1時，(sinθ+

1

4

)2+

15

16

取得最大值

5

2

．
∵不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，
∴故實數(shù)m的取值范圍是(

5

2

，  +∞)． …（2分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，二倍角的余弦函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．