Question

已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范圍．

Answer 1

答：（1）∵函數(shù)，令 x²-3=t，則 x²=t+3．
則有 f（t）=，故 f（x）=．
再由 ＞0 解得-3＜x＜3，故函數(shù)f（x）的定義域為（-3，3）．
由f（-x）==-=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)a＞1時，由f（x）=≥log_a2x，可得≥2x＞0，
解得 0＜x≤1，或．
當(dāng)0＜a＜1時，由f（x）=≥log_a2x，可得 0＜≤2x，
解得 ．
分析：（1）令 x²-3=t，代入函數(shù)的解析式求得 f（t）=，f（x）=．由 ＞0 求得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，再由f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)a＞1時，由不等式可得≥2x＞0，由此求得x的取值范圍．當(dāng)0＜a＜1時，由由不等式可得 0＜≤2x，由此求得x的取值范圍．
點評：本題主要考查判斷函數(shù)的奇偶性的方法和步驟，解對數(shù)不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．