Question

15．△AOB為等邊三角形，OA=1，OC為AB的高，點(diǎn)P在射線OC上，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{8}$
• C． -$\frac{\sqrt{3}}{8}$
• D． -$\frac{3}{16}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)P（0，t），$（t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）$，A$（-\frac{1}{2}，0）$，O$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)P（0，t），$（t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）$，A$（-\frac{1}{2}，0）$，O$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{AP}$=$（\frac{1}{2}，t）$，$\overrightarrow{OP}$=（0，t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$=t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$（t-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}$-$\frac{3}{16}$≥$-\frac{3}{16}$．
當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$的最小值為-$\frac{3}{16}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．