Question

過點(diǎn)P（1，3）的動(dòng)直線l與圓x²+y²=3交于不同兩點(diǎn)、B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，λ≠0且λ≠±1，則點(diǎn)Q所在的直線的方程為（　　）

• A、x-3y=3
• B、x-y=3
• C、x+y=3
• D、x+3y=3

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），P（1，3），由

AP

=-λ

PB

，得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），從而1-x₁=-λ（x₂-1），3-y₁=-λ（y₂-3），由此能求出點(diǎn)Q所在的直線的方程．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），P（1，3），
∵

AP

=-λ

PB

，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）
∴1-x₁=-λ（x₂-1），3-y₁=-λ（y₂-3），
即 x₁-λx₂=1-λ，（1）
y₁-λy₂=3（1-λ），（2）
同理x₁+λx₂=（1+λ）x，（3）
y₁+λy₂=（1+λ）y，（4）
（1）×（3），得x12-λ²x22=（1-λ²）x，（5）
（2）×（4），得y12-λ2y22=3（1-λ²）y，（6）
（5）+（6），得x12+y12-λ2(x22+y22)=(1-λ2)（x+3y），
∵C，D在圓O上，∴x12+y12=3，x22+y22=3，
∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3，
∴點(diǎn)Q總在定直線x+3y-3=0上．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．