Question

已知向量

a

=(1，cos(ωx-

π

6

))，

b

=(2，2sin(ωx-

π

6

))，其中ω為常數(shù)，且ω＞0．
（1）若ω=1，且

a

∥

b

，求tanx的值；
（2）設函數(shù)f(x)=

a

•

b

-2，若f（x）的最小正周期為π，求f（x）在x∈[0，

π

2

]時的值域．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

的充要條件知，

b

=λ•

a

，即

2=λ 2sin(x- π 6 )=λ•cos(x- π 6 )

，tan(x-

π

6

)=1，解出x，使用周期性及誘導公式求得tanx的值．
（2）使用二倍角公式化簡f（x）的解析式，求出角的范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．

解答：解：（1）若ω=1，則

a

=(1 ， cos(x-

π

6

))，

b

=(2 ， 2sin(x-

π

6

))，
由

a

∥

b

的充要條件知，存在非零實數(shù)λ，使得

b

=λ•

a

，即

2=λ 2sin(x- π 6 )=λ•cos(x- π 6 )

，
所以，sin(x-

π

6

)=cos(x-

π

6

)，tan(x-

π

6

)=1，
∴x-

π

6

=kπ+

π

4

，k∈Z，x=kπ+

5π

12

，k∈Z，tanx=tan(kπ+

5π

12

)=tan

5π

12

=tan(

π

4

+

π

6

)=

1+ 3 3

1- 3 3

=

3+ 3

3- 3

=2+

3

．
（2）f(x)=2+2sin(ωx-

π

6

 )cos(ωx-

π

6

 )-2=2sin(ωx-

π

6

 )cos(ωx-

π

6

 )=sin(2ωx-

π

3

 )，
因為f（x）的最小正周期為π，所以

2π

2ω

=π，ω=1，
所以f(x)=sin(2x-

π

3

)，（10分）
當x∈[0 ， 

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

 ， 

2π

3

]，
所以函數(shù)f（x）的值域為[-

3

2

 ， 1]．

點評：本題考查兩個向量共線的性質(zhì)，函數(shù)周期性的應用及誘導公式的應用，已知三角函數(shù)的值求角的大小即利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．