（2013•北京）已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．
分析：（I）由題意可得f′（a）=0，f（a）=b，聯(lián)立解出即可；
（II）利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性與極值即最值，得到值域即可．
解答：解：（I）f′（x）=2x+xcosx，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，
∴f′（a）=0，f（a）=b，聯(lián)立
2a+acosa=0
a2+asina+cosa=b
，解得
a=0
b=1
，
故a=0，b=1．
（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．
于是當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值f（0）=1，
故當(dāng)b＞1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)．故b的取值范圍是（1，+∞）．
點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值及其幾何意義是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）已知函數(shù)f（x）=(2cos2x-1)sin2x+
1
2
cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若α∈（
π
2
，π），且f（α）=
2
2
，求α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）已知點(diǎn)A（1，-1），B（3，0），C（2，1）．若平面區(qū)域D由所有滿足
AP
=λ
AB
+μ
AC
（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點(diǎn)P組成，則D的面積為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）已知A，B，C是橢圓W：
x24
+y2=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1，an+2…的最小值記為Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對任意n∈N*，an+4=an），寫出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1．

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