（2013•北京）已知A，B，C是橢圓W：
x24
+y2=1上的三個點，O是坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
（Ⅱ）當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．
分析：（I）根據(jù)B的坐標(biāo)為（2，0）且AC是OB的垂直平分線，結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點的坐標(biāo)，從而得到線段AC的長等于
3
．再結(jié)合OB的長為2并利用菱形的面積公式，即可算出此時菱形OABC的面積；
（II）若四邊形OABC為菱形，根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的橫坐標(biāo)滿足
3x2
4
=r2-1，從而得到A、C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．再分兩種情況加以討論，即可得到當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．
解答：解：（I）∵四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點（2，0）
∴直線AC是BD的垂直平分線，可得AC方程為x=1
設(shè)A（1，t），得
12
4
+t2=1，解之得t=
3
2
（舍負(fù)）
∴A的坐標(biāo)為（1，
3
2
），同理可得C的坐標(biāo)為（1，-
3
2
）
因此，|AC|=
3
，可得菱形OABC的面積為S=
1
2
|AC|•|B0|=
3
；
（II）∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，
設(shè)|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點是圓x2+y2=r2
與橢圓W：
x2
4
+y2=1的公共點，解之得
3x2
4
=r2-1
設(shè)A、C兩點橫坐標(biāo)分別為x1、x2，可得A、C兩點的橫坐標(biāo)滿足
x1=x2=
2
3
3
•
r2-1
，或x1=
2
3
3
•
r2-1
且x2=-
2
3
3
•
r2-1
，
①當(dāng)x1=x2=
2
3
3
•
r2-1
時，可得若四邊形OABC為菱形，則B點必定是右頂點（2，0）；
②若x1=
2
3
3
•
r2-1
且x2=-
2
3
3
•
r2-1
，則x1+x2=0，
可得AC的中點必定是原點O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC
綜上所述，可得當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．
點評：本題給出橢圓方程，探討了以坐標(biāo)原點O為一個頂點，其它三個頂點在橢圓上的菱形問題，著重考查了菱形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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1
2
cos4x．
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π
2
，π），且f（α）=
2
2
，求α的值．

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AP
=λ
AB
+μ
AC
（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點P組成，則D的面積為
3
3
．

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（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項只能是1或者2，且有無窮多項為1．

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