Question

5．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，且拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）與橢圓C₁有公共焦點(diǎn)F₂（1，0）．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，過(guò)原點(diǎn)O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D為軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：c=1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程，F(xiàn)₂（1，0）為拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)可得m=1，
即可求得拋物線方程；
（2）當(dāng)直線斜率存，設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入整理可知：7n²-12k²-12=0，由OD⊥AB，則$k=-\frac{x_0}{y_0}$，點(diǎn)D在直線AB上，y₀=kx₀+n，整理求得點(diǎn)D的軌跡方程為${x^2}+{y^2}=\frac{12}{9}（y≠0）$，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，$D（±\frac{{2\sqrt{21}}}{7}，0），滿(mǎn)足{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$，即可求得點(diǎn)D為軌跡方程．

解答 解：（1）由題意知橢圓C₁中F₂（1，0）則：c=1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$
∴$a=2，b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$
故橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1…（2分）
由F₂（1，0）為拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)可得m=1，
∴拋物線的方程為y²=4x…（4分）
（2）當(dāng)直線AB的斜率k存在時(shí)
設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+n\end{array}\right.$，
得（4k²+3）x²+8knx+4n²-12=0…（6分）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8kn}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{n^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+n）（k{x_2}+n）={k^2}{x_1}{x_2}+kn（{x_1}+{x_2}）+{n^2}$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+kn（{x_1}+{x_2}）+n=0，\frac{{\{{k^2}+1\}（4{n^2}-12）}}{{4{k^2}+3}}-\frac{{8{k^2}{n^2}}}{{4{k^2}+3}}+{n^2}=0$，
∴7n²-12k²-12=0①…（8分）
又∵OD⊥AB，設(shè)D（x₀，y₀），
∴$k=-\frac{x_0}{y_0}$②
又∵點(diǎn)D在直線AB上，
∴y₀=kx₀+n，
∴$n={y_0}-k{x_0}={y_0}+\frac{x_0^2}{y_0}$③…（10分）
把②③代入①得$7{（{y_0}+\frac{x_0^2}{y_0}）^2}-12\frac{x_0^2}{y_0^2}-12=0$，
∴$\frac{x_0^2+y_0^2}{y_0^2}[7（x_0^2+y_0^2）-12]=0$，
∴$x_0^2+y_0^2=\frac{12}{7}$，
∴點(diǎn)D的軌跡方程為${x^2}+{y^2}=\frac{12}{9}（y≠0）$，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，$D（±\frac{{2\sqrt{21}}}{7}，0），滿(mǎn)足{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$
∴點(diǎn)D的軌跡方程為${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程的求法，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．