Question

10．已知函數(shù)f（x） 滿足f（2^x）=x+1．
（1）求函數(shù)f（x） 的解析式；
（2）求函數(shù)y=[f（x）]²+f（2x） 的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x） 是函數(shù)y=f（x）-1 的反函數(shù)，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）．若方程h（x）-a=0 在區(qū)間（1，2）上有根，求實數(shù)a 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x＞0，x=log₂t，即可求函數(shù)f（x） 的解析式；
（2）y=[f（x）]²+f（2x）=（log₂x+1）²+log₂x+1+1，利用換元、配方法求函數(shù)y=[f（x）]²+f（2x） 的最小值；
（3）h（x）=f（x）+g（x）=log₂x+2^x+1在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則h（x）∈（3，6），即可求實數(shù)a 的取值范圍．

解答 解：（1）令t=2^x＞0，x=log₂t，∴f（t）=log₂t+1，∴f（x）=log₂x+1（x＞0）；
（2）y=[f（x）]²+f（2x）=（log₂x+1）²+log₂x+1+1，
令log₂x+1=m，則y=m²+m+1=（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$，即x=${2}^{-\frac{3}{2}}$時，函數(shù)的最小值為$\frac{3}{4}$；
（3）y=f（x）-1=log₂x的反函數(shù)g（x）=2^x，h（x）=f（x）+g（x）=log₂x+2^x+1在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則h（x）∈（3，6），
∵方程h（x）-a=0 在區(qū)間（1，2）上有根，
∴a）∈（3，6）．

點評 本題考查換元法求函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)單調(diào)性的運用，屬于中檔題．