Question

18．滿足條件AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC的三角形ABC面積的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設BC=x，根據(jù)面積公式用x和sinB表示出三角形的面積，再根據(jù)余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面積表達式，進而得到關于x的三角形面積表達式，再根據(jù)x的范圍求得三角形面積的最大值．

解答 解：設BC=x，則AC=$\sqrt{3}$x，
根據(jù)面積公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB
=$\frac{1}{2}$×2x$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$，
根據(jù)余弦定理得cosB=$\frac{4+{x}^{2}-3{x}^{2}}{4x}$=$\frac{2-{x}^{2}}{2x}$，
代入上式得S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{-（{x}^{2}-4）^{2}+12}$，
由三角形三邊關系有$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+x＞2}\\{x+2＞\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\sqrt{3}$-1＜x＜$\sqrt{3}$+1．
故當x=2時，S_△ABC取得最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調性和定義域等問題．