Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

4

n•(an+7)

（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

1

2

≤Tn＜1；
（3）是否存在常數(shù)c（c≠0），使得數(shù)列{

Sn

n+c

}為等差數(shù)列？若存在，試求出c；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯(lián)立，計(jì)算可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)題意，將數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n可得b_n的通項(xiàng)公式，進(jìn)而運(yùn)算消項(xiàng)求和法，計(jì)算T_n，可以得證；
（3）首先計(jì)算Sn，代入數(shù)列{

Sn

n+c

}，可得其通項(xiàng)公式，運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)分析，可得答案．

解答：（1）解：∵等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

?

a2•a3=45 a2+a3=14

?

a2=5 a3=9

?d=4?an=4n-3（4分）
（2）∵cn=

8

(an+7)•bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，（6分）
Tn+1-Tn=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0
∴T_n+1＞T_n
∴Tn≥T1=

1

2

故

1

2

≤Tn＜1（8分）
（3）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，cn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
由2c₂=c₁+c₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化簡(jiǎn)得2c²+c=0，c≠0，
∴c=-

1

2

反之，令c=-

1

2

，即得c_n=2n，顯然數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，
∴當(dāng)且僅當(dāng)c=-

1

2

時(shí)，數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，注意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析，可以減少運(yùn)算量，降低難度．