Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F，則
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E在底面ABCD內的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上結論正確的為    ．（寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

【答案】分析：由平行平面的性質可得①是正確的，當E、F為棱中點時，四邊形為菱形，但不可能為正方形，故③④正確，②錯誤．
解答：解：
①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可證：D′E∥FB，故四邊形BFD′E一定是平行四邊形，即①正確；
②：當E、F為棱中點時，四邊形為菱形，但不可能為正方形，故②錯誤；
③：四邊形BFD′E在底面ABCD內的投影為四邊形ABCD，所以一定是正方形，即③正確；
④：當E、F為棱中點時，EF⊥平面BB′D，又∵EF?平面BFD′E，∴此時：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正確．
故答案為：①③④
點評：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力和思維能力．