已知四棱錐的三視圖和直觀圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形.是側(cè)棱上的動點．

(1)求證：；

(2)若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

 

【答案】

（1）參考解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證明，要轉(zhuǎn)到線面垂直，通過觀察需證明平面.所以要證明垂直于平面兩條相交直線，顯然，.從而可得結(jié)論.

（2）要求直線與平面所成角的正弦值，需要找到直線與平面所成的角.通過證明平面平面.即可得到點E到平面的投影在PO（O是AC與BD的交點）上.這樣就可以求出直線與平面所成的角，再通運算即可求出結(jié)論.本小題也可已建立空間坐標(biāo)系來求.

（3）若四點在同一球面上，求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補齊為一個長方體.外接球的直徑就是長方體的對角線長.即可求結(jié)論.

試題解析：（1）證明：由已知

,

又因為，

(2)解法一：連AC交BD于點O，連PO，由(1)知

則，為與平面所成的角.

,則

法二：空間直角坐標(biāo)法，略.

(3)解：以正方形為底面，為高補成長方體，此時對角線的長為球的直徑，

,. 

考點：1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補思想.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，E是PB的中點．
（Ⅰ）求三棱錐C-PBD的體積；
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精英家教網(wǎng)

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（Ⅰ）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)
的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（文）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點．
（Ⅰ） 求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ） 是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知一幾何體的三視圖如圖，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇5個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的5個頂點，這些幾何形體是（寫出所有正確結(jié)論的編號）
①③④
①③④
．（其中a≠b）
①每個側(cè)面都是直角三角形的四棱錐；
②正四棱錐；
③三個側(cè)面均為等腰三角形與三個側(cè)面均為直角三角形的兩個三棱錐的簡單組合體
④有三個側(cè)面為直角三角形，另一個側(cè)面為等腰三角形的四棱錐．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的三視圖和直觀圖如圖：
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側(cè)棱PC上的動點，是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．
（3）若F是側(cè)棱PA上的動點，證明：不論點F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．

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