Question

在△ABC三角形ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知

m

=(cosB，cosC)，

n

=(2a+c，b) 且

m

⊥

n

（Ⅰ）求角B的大小及y=sin²A+sin²C的取值范圍；
（Ⅱ）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量垂直時數(shù)量積為0，根據(jù)兩向量的坐標(biāo)列出關(guān)系式，然后利用余弦定理表示出cosB和cosC，代入表示出的關(guān)系式中化簡，得到a²+c²-b²=-ac，代入表示出的cosB中，求出cosB的值，把y=sin²A+sin²C的兩項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及B的度數(shù)，用A表示出C，由A的范圍，求出這個角的范圍根據(jù)正弦函數(shù)的定義域與值域得到y(tǒng)的范圍；
（Ⅱ）利用余弦定理的得到b²=a²+c²-2accosB，根據(jù)完全平方公式化簡后，將b，a+c及cosB的值代入，求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵已知

m

=(cosB，cosC)，

n

=(2a+c，b) 且

m

⊥

n

，
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
根據(jù)余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
代入上式整理得：a²+c²-b²=-ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

-ac

2ac

=-

1

2

，
∵角B為三角形的內(nèi)角，∴B=

2

3

π；
由題知，y=sin²A+sin²C=

1-cos2A

2

+

1-cos2c

2

=1-

1

2

（cos2A+cos2C）．
由A+C=π-B=

π

3

，得C=

π

3

-A，
∵cos2A+cos2C=cos2A+cos（

2π

3

-2A）=

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=sin（2A+

π

6

），
由于0＜A＜

π

3

，得到

π

6

＜2A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（2A+

π

6

）≤1，即-

1

2

≤-

1

2

sin（2A+

π

6

）＜-

1

4

，
∴

1

2

≤1-

1

2

sin（2A+

π

6

）＜

3

4

，
則y的取值范圍是[

1

2

，

3

4

]；
（2）∵b=

13

，a+c=4，B=

2

3

π，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴13=16-2ac（1-

1

2

），
∴ac=3，
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

3

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及到的知識有：平面向量的數(shù)量積運算法則，余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角形的面積公式，以及完全平方公式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．