解:由題意得
(x>0)
令x=tanα
,則
由于
,所以
,即函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1)
(1)由
y
2-2xy+x
2=y
2+y
2x
2于是解得
,所以原函數(shù)的反函數(shù)
(0<x<1)
(2)因?yàn)閍
1=a>0,a
n+1=f(a
n),n∈N
*,所以
①【法一】三角代換 令a
n=tanα
n,因?yàn)閍
n>0,且a
1=1所以
所以
由于
,所以
故數(shù)列{α
n}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為
,公比為
,所以
于是
,此處用到不等式x<tanx
【法二】不等式放縮 因?yàn)閍
n+1=f(a
n),所以a
n=f
-1(a
n+1)
所以
,又由原函數(shù)的值域知a
n+1∈(0,1)
所以
,則
進(jìn)而
,所以
于是
②【法一】
,所以
=
由S
n<2a,則易得
,又S
n>0
則要證
或
等價(jià)于證明
化簡(jiǎn)等價(jià)于
,此式在0<S
n<2a的條件下成立;
【法二】因?yàn)閍
n+1=f(a
n),所以a
n=f
-1(a
n+1)
所以
,從而
從而S
n<2a.
則易得
,又S
n>0
則要證
或
等價(jià)于證明
化簡(jiǎn)等價(jià)于
,此式在0<S
n<2a的條件下成立;
分析:(1)由題意得
,令x=tanα
,則
,函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1).由此能求出原函數(shù)的反函數(shù).
(2)因?yàn)閍
1=a>0,a
n+1=f(a
n),n∈N
*,所以
.
①【法一】三角代換:令a
n=tanα
n,因?yàn)閍
n>0,且a
1=1所以
,所以
,由此能夠證明
.
【法二】不等式放縮:因?yàn)閍
n+1=f(a
n),所以a
n=f
-1(a
n+1),故
,又由原函數(shù)的值域知a
n+1∈(0,1),所以
,則
,由此能夠證明
.
②【法一】
,所以
=
.由S
n<2a,能夠證明證明
或
.
【法二】因?yàn)閍
n+1=f(a
n),所以a
n=f
-1(a
n+1),所以
,從而
.由S
n<2a,能夠證明證明
或
.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,合理地運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí),注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.