Question

已知向量，當x＞0時，定義函數．
（1）求函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）；
（2）數列{a_n}滿足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n為數列{a_n}的前n項和，
①證明：S_n＜2a；
②當a=1時，證明：．

Answer 1

解：由題意得（x＞0）
令x=tanα，則
由于，所以，即函數f（x）的值域為（0，1）
（1）由y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得，所以原函數的反函數（0＜x＜1）
（2）證明：因為a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以
∴，所以=
②因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，又由原函數的值域知a_n+1∈（0，1）
所以，則
進而，所以
于是
分析：由題意得（x＞0），令x=tanα，則，由于，所以，即函數f（x）的值域為（0，1）
（1）由，反解x可得，所以原函數的反函數（0＜x＜1）
（2）因為a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以
①利用放縮法．，所以=
②因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以，又由原函數的值域知a_n+1∈（0，1），所以，則，進而，所以于是可得結論．
點評：本題以新定義為載體，考查函數及反函數的求解，考查不等式的證明，解題的關鍵是適當放縮，難度較大．