【題目】已知為拋物線上的兩個動點,點在第一象限,點在第四象限,分別過點且與拋物線相切,為的交點.
(Ⅰ)若直線過拋物線的焦點,求證動點在一條定直線上,并求此直線方程;
(Ⅱ)設(shè)為直線與直線的交點,求面積的最小值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析,;(Ⅱ).
【解析】
試題(I)利用直線與拋物線相切,求出方程,可得點坐標(biāo),再求出直線的方程,即要得結(jié)論;(II)求出的坐標(biāo),可得,表示面積,利用導(dǎo)數(shù)法可求最小值.
試題解析:(Ⅰ)設(shè).
易知斜率存在,設(shè)為,則方程為
由,得……①
由直線與拋物線相切,知.
于是,方程為.
同理,方程為.
聯(lián)立、方程可得點坐標(biāo)為,
∵,方程為,過拋物線的焦點,
∴,.
∴,點在一條定直線上.
或解:設(shè),則方程為,方程為.
點坐標(biāo)滿足方程,
∴直線方程為,由直線過點,知,
∴,點在定直線上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知的坐標(biāo)分別為,
.
設(shè).
由知,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
∴.
設(shè),則.
∴時,;時,.
在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù).
∴時,取最小值.
∴當(dāng),即時,
面積取最小值
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【題目】已知函數(shù)().
(1)若,求的導(dǎo)數(shù);
(2)討論的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),若對任意,均存在,使得,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,矩形的兩條對角線相交于點, 邊所在直線的方程為,點在邊所在的直線上.
(Ⅰ)求邊所在直線的方程;
(Ⅱ)求矩形外接圓的方程.
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【題目】已知圓的方程為,直線的方程為,點在直線上,過點作圓的切線,切點為.
(1)若過點的坐標(biāo)為,求切線方程;
(2)求四邊形面積的最小值;
(3)求證:經(jīng)過三點的圓必過定點,并求出所有定點坐標(biāo).
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【題目】如圖,有一直徑為8米的半圓形空地,現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種水果,已知單位面積種植甲水果的經(jīng)濟價值是種植乙水果經(jīng)濟價值的5倍,但種植甲水果需要有輔助光照.半圓周上的處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲水果生長的需要,該光源照射范圍是,點在直徑上,且.
(1)若米,求的長;
(2)設(shè), 求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種水果的面積.
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【題目】下列關(guān)于隨機變量及分布的說法正確的是( )
A.拋擲均勻硬幣一次,出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量
B.某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)服從兩點分布
C.離散型隨機變量的分布列中,隨機變量取各個值的概率之和可以小于1
D.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的
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【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),若方程在區(qū)間(其中為自然對數(shù)的底)上有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓的離心率是,短軸的一個端點到右焦點的距離為,直線與橢圓交于兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)實數(shù)變化時,求的最大值;
(3)求面積的最大值.
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【題目】根據(jù)某電子商務(wù)平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示,參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖所示.
(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求的值;
(2)該電子商務(wù)平臺將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高消費人群,其他年齡段的人群定義為潛在消費人群,為了鼓勵潛在消費人群的消費,該平臺決定發(fā)放代金券,高消費人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費人群每人發(fā)放100元的代金券,現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者中抽取10人,并在這10人中隨機抽取3人進(jìn)行回訪,求此3人獲得代金券總和(單位:元)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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