Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，且數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足4S_n+1-3S_n=4，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n，若不等式對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵已知，∴n≥2時，4S_n-3S_n-1=4．
相減得4a_n+1-3a_n=0、又易知a_n≠0，∴． …（4分）
又由得4（a₁+a₂）-3a₁=4，∴，∴．
故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列． …（5分）
（2）由（1）知． …（6分）
∴，
∴．
相減得，
∴，…（8分）
∴不等式
為．
化簡得4n²+16n＞a．
設(shè)f（n）=4n²+16n，
∵n∈N^*∴f（n）_min=f（1）=20．
故所求實數(shù)a的取值范圍是（-∞，20）． …（10分）
分析：（1）利用4S_n+1-3S_n=4，推出是常數(shù)，然后已知，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）利用錯位相減法求出數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n，化簡不等式，通過對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查等比數(shù)列的判斷，數(shù)列通項公式與前n項和的求法，恒成立問題的應(yīng)用，考查計算能力．