Question

20．求雙曲線方程，它與橢圓x²+4y²=64有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對值為1．

Answer 1

分析 橢圓x²+4y²=64即$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得c=4$\sqrt{3}$．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a，b＞0），則c=4$\sqrt{3}$，c²=a²+b²，2a=1，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：橢圓x²+4y²=64即$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得c=$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{3}$．
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a，b＞0），
則c=4$\sqrt{3}$，c²=a²+b²，2a=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，b²=$\frac{191}{4}$．
∴要求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：4x²-$\frac{4{y}^{2}}{191}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．