Question

5．已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時(shí)滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；
②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{b_n}中，所有滿足b_i•b_i+1＜0的整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{b_n}的變號數(shù)，令${b_n}=1-\frac{a}{a_n}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的變號數(shù)；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：${c_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{{a_i}•{a_{i+1}}}}}$，試探究數(shù)列{c_n}是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出該項(xiàng)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，知△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．由此能求出f（x）的表達(dá)式．
（2）由S_n=n²-4n+4，最后根據(jù)通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解即可，即可得到得${b_n}=\left\{\begin{array}{l}-3，（n=1）\\ 1-\frac{4}{2n-5}．（n≥2）\end{array}\right.$，可得根據(jù)b_i•b_i+1＜0可知，當(dāng)n≥5時(shí)，恒有a_n＞0，前四項(xiàng)求出，則易得變號的數(shù)．
（3）利用裂項(xiàng)求和得到c_n，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到最小項(xiàng)的值

解答 解（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素
∴△=a²-4a=0解得a=0或a=4，
當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）遞增，不滿足條件②
當(dāng)a=4時(shí)函數(shù)f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，滿足條件②
綜上得a=4，即f（x）=x²-4x+4，
（2）由（1）知${S_n}={n^2}-4n+4={（n-2）^2}$
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，（n=1）\\ 2n-5．（n≥2）\end{array}\right.$由題設(shè)可得${b_n}=\left\{\begin{array}{l}-3，（n=1）\\ 1-\frac{4}{2n-5}．（n≥2）\end{array}\right.$，
∵b₁=-3＜0，b₂=1+4=5＞0，b₃=-3＜0，
∴i=1，i=2都滿足b_i•b_i+1＜0，
∵當(dāng)n≥3時(shí)，${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{4}{2n-5}-\frac{4}{2n-3}=\frac{8}{（2n-5）（2n-3）}$＞0
即當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{b_n}遞增，
∵${b_4}=-\frac{1}{3}$＜0，由$1-\frac{4}{2n-5}＞0$⇒n≥5，可知i=4滿足b_i•b_i+1＜0，
∴數(shù)列{b_n}的變號數(shù)為3．
（3）∵${c_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{{a_i}•{a_{i+1}}}}}$=$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，
由（2）可得：${c_n}=-1+（-1）+\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-3}）]$，
=$-2+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-3}）=\frac{4-3n}{2n-3}$=$\frac{{-\frac{3}{2}（2n-3）-\frac{1}{2}}}{2n-3}=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2（2n-3）}$，
∵當(dāng)n≥2時(shí)數(shù)列{c_n}遞增，∴當(dāng)n≥2時(shí)，c₂=-2最小，
又∵c₁=-1＞c₂，
∴數(shù)列{c_n}存在最小項(xiàng)c₂=-2．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，主要涉及了函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系，以及構(gòu)造數(shù)列，研究其性質(zhì)等問題，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題．