Question

某公司生產一種產品，每年需投入預定成本60萬元，此外每生產1萬件產品需要增加投資35萬元，經預測知，市場對這種產品的需求量為5萬件，且當售出的這種產品的數量為t（單位：萬件）時，銷售所得的收入約為500t-50t²（萬元）．
（1）若該公司這種產品的年產量為x（單位：萬件，x＞0），試把該公司生產銷售這種產品所得的年利潤表示為當年產量x的函數．
（2）當該公司的年產量為多大時，當年所得的利潤最大？并求出當年所得利潤最大值．

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）由銷售收入減去固定成本與可變成本得到利潤，由此即可得出函數關系式；
（2）根據（1）得到的函數關系式，利用相應函數的性質求出最值即可得出．

解答： 解：（1）該公司這種產品的年產量為x（單位：萬件，x＞0），x≤5，
由于銷售所得的收入約為500x-50x²（萬元）．固定成本為60萬元，可變成本是35x萬元，
所以利潤y=500x-50x²-60-35x=-50x²+465x-60，（0＜x≤5）．
（2）由于y=-50x²+465x-60，（0＜x≤5）．
當x=4.65時，函數取到最大值y（4.65）=-50×4.65²+465×4.65-60=1021.125萬元，
故當年產量為4.65萬件時，公司獲得的最大利潤是1021.125萬元．

點評：本題考查函數最值的應用，利用函數最值得出實際問題中利潤最大化問題的解決，函數的應用是函數在現實生活中的一大功用，平時學習中要注意積累數學關系與現實中事物之間關系的對應，為建立恰當合適的函數模型打下基礎．