Question

2．如圖，直線l過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F且分別交拋物線及其準(zhǔn)線于A，B，C，若$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則|AB|=5．

Answer 1

分析 作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，根據(jù)$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，和拋物線的定義，可得tan∠NCB=2，從而可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，則|BN|=|BF|，
∵$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sin∠NCB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠NCB=2
∴AF的方程為y=2（x-1），
代入y²=4x，可得x²-3x+1=0
∴x₁+x₂=3，
∴|AB|=x₁+x₂+2=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)中檔題．考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．．