Question

已知不等式++…+＞，其中n為大于2的整數(shù)，[log₂n]表示不超過(guò)log₂n的最大整數(shù)．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正，且滿足a₁=b（b＞0），a_n≤，n=2，3，4，…．證明：a_n＜，n=3，4，5，…．

Answer 1

【答案】分析：欲證明：a_n＜，設(shè)f（n）=++，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式a_n＜，再結(jié)合條件即可解決．
解答：證明：設(shè)f（n）=++，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式a_n＜，n=3，4，5．
（�。┊�(dāng)n=3時(shí)，由a₃≤=≤=，知不等式成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即a_k＜，則a_k+1≤=＜===
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，a_n＜，n=3，4，5．．
又由已知不等式得a_n＜=，n=3，4，5，…
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式．設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若：1°P（n）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n的自然數(shù)n都成立