Question

13．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，設點A₁，B₁分別是橢圓的右頂點和上頂點，過點A₁，B₁引橢圓C的兩條弦A₁E、B₁F．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（II）若直線A₁E與B₁F的斜率是互為相反數(shù)．
（i）直線EF的斜率是否為定值？若是求出該定值，若不是，說明理由；
（ii）設△A₁EF、△B₁EF的面積分別為S₁和S₂，求S₁+S₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）（i）求出A₁（2，0），B₁（0，1），從而得到${k}_{{A}_{1}E}$=-$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，${k}_{{B}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，進而求出直線B₁F，與橢圓聯(lián)立，求出F，由此能求出直線EF的斜率為定值．
（ii）求出直線EF和方程和|EF|，再分別求出點A₁（2，0）到直線EF的距離和點B₁（0，1）到直線EF的距離，由此能求出S₁+S₂．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）（i）∵E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，點A₁，B₁分別是橢圓的右頂點和上頂點，過點A₁，B₁引橢圓C的兩條弦A₁E、B₁F．
∴A₁（2，0），B₁（0，1），∴${k}_{{A}_{1}E}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}-2}$=-$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，∴${k}_{{B}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，
∴直線B₁F：$y-1=\frac{\sqrt{3}+2}{2}x$，即y=$\frac{\sqrt{3}+2}{2}x$+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}+2}{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，并整理，得x²+x=0，
解得x=0或x=-1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴F（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴k_EF=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線EF的斜率為定值$\frac{1}{2}$．
（ii）直線EF：y-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{3}$），即x-2y-$\sqrt{3}+1$=0，
|EF|=$\sqrt{（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\sqrt{3}+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{20+10\sqrt{3}}}{2}$，
點A₁（2，0）到直線x-2y-$\sqrt{3}+1$=0的距離d₁=$\frac{|2-\sqrt{3}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{5}}$，
點B₁（0，1）到直線x-2y-$\sqrt{3}+1$=0的距離d₂=$\frac{|-2-\sqrt{3}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{5}}$，
∵△A₁EF、△B₁EF的面積分別為S₁和S₂，
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}×|EF|×（6661166_{1}+1661111_{2}）$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{20+10\sqrt{3}}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{12+6\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，考查兩個三角形的面積之和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線斜率公式、點到直線距離公式、兩點間距離公式的合理運用．