Question

2．已知函數(shù)f（x）=ke^x-x²，（其中k∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
（Ⅰ）若k=2，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，試比較f（x）與2的大��；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
（i）求k的取值范圍；
（ii）證明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，可比較f（x）與2的大�。�
（Ⅱ）（i）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)根，令φ（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間，繼而得到k的取值范圍；
（ii）知，f′（x₁）=0，則得k=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$，又由f（x₁）=-（x₁-1）²+1，x₁∈（0，1），即可得到0＜f（x₁）＜1．

解答 解：（Ⅰ）若k=2，f（x）=2e^x-x²，則f'（x）=2e^x-2x，
令g（x）=2e^x-2x，g′（x）=2e^x-2＞0，
∴g（x）=2e^x-2x在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴g（x）＞g（0）=2＞0
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）=2e^x-2x＞0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）=2e^x-x²＞f（0）=2；
（Ⅱ）（i）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，則x₁，x₂是f′（x）=ke^x-2x=0的兩個(gè)根，
即方程k=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有兩個(gè)根，設(shè)φ（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，則φ′（x）=$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x＜0時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減且φ（x）＞0．
要使k=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有兩個(gè)根，只需0＜k＜φ（1）=$\frac{2}{e}$，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，$\frac{2}{e}$）；
（ii）證明：由（i）可知，函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′（x₁）=$k{e}^{{x}_{1}}$--2x₁=0，得k=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$，
所以f（x₁）=$k{e}^{{x}_{1}}$--x₁²=x₁（2-x₁）=-（x₁-1）²+1，
由于x₁∈（0，1），故0＜-（x₁-1）²+1＜1，
所以0＜f（x₁）＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值與利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．