Question

設(shè){a_n}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？說明理由；
（Ⅲ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=215-an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積的最大值．

Answer 1

分析：（I）依題意，得到等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)與公差的方程組，解之即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）利用（I）的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求得2k-4m=3，m，k∈N⁺，從而可得結(jié)論；
（Ⅲ）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得T_n的解析式，T_n=

2-(n- 15 2 )2+ 225 4 ，

利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得（T_n）_max．

解答：解：（I）

4(3a1+ 3×2 2 d)=6a1+ 6×5 2 d (a1+d+2)2=a1(a1+12d)

解得

a1=1 d=2

或

a1=- 1 4 d=- 1 2

，因?yàn)閐＞0，所以

a1=1 d=2

…（2分）
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1…（4分）
（II）若存在m，k∈N⁺，使a_m+a_m+4=a_k+2，則2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1
即2k-4m=3…（6分）
所以k-2m=

3

2

，因?yàn)閙，k∈N⁺，所以k-2m=

3

2

不可能成立，
故不存在m，k∈N⁺，使a_m+a_m+4=a_k+2成立          …（8分）
（Ⅲ）由題意可得T_n=b₁•b₂•b₃…b_n=

215n-n2

=

2-(n- 15 2 )2+ 225 4 ，

∴n=7或n=8時(shí)，（T_n）_max=2⁵⁶．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的求和，考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，考查方程思想與函數(shù)性質(zhì)，屬于難題．