Question

設(shè){a_n}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且滿足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？說明理由；
（III）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1-b_n=a_n，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)公差為d（d＞0），利用4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項，建立方程組，求出首項與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）假設(shè)存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，利用通項可得等式，結(jié)合m，k∈N^*，即可得到結(jié)論；
（III）利用疊加法，即可求數(shù)列{b_n}的通項公式．
解答：解：（I）設(shè)公差為d（d＞0），則
∵4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項，
∴
∴或
∵d＞0，∴
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（II）若存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，則2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1，即2k-4m=3
∴k-2m=
∵m，k∈N^*，∴k-2m=不可能成立
∴不存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2；
（III）由題意可得b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b_n-b_n-1=2n-3
將上面n-1個式子相加可得b_n-b₁==（n-1）²
∵b₁=-1，∴．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查疊加法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．