Question

已知函數(shù)f(x)=

x2-x+3

x

，
（Ⅰ）判定函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，看是否關于原點對稱，定義域關于原點對稱時，再看f（-x）與函數(shù)f（x）的關系，依據(jù)奇偶性的定義做出判斷．
（2）利用基本不等式求值域是解決函數(shù)值域問題的一種方法，關鍵要用到基本不等式的放縮辦法，要注明等號成立的條件．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
又f(x)=x+

3

x

-1∵f(-x)+f(x)=(-x-

3

x

-1)+(x+

3

x

-1)=-2≠0f（-x）≠-f（x）
f(-x)-f(x)=-x-

3

x

-1-(x+

3

x

-1)=-(2x+

6

x

)≠0∴f（-x）≠f（x）
故f（x）為非奇非偶函數(shù)
（Ⅱ）當x＞0時，x+

3

x

-1≥2

3

-1
當x＜0時，x+

3

x

-1=[(-x)+

3

(-x)

]-1≤-2

3

-1，
∴函數(shù)f（x）的值域是(-∞，-2

3

-1]∪[2

3

-1，+∞)

點評：本題考查求函數(shù)的定義域、值域的方法，函數(shù)奇偶性的判斷方法，解答關鍵是利用函數(shù)解析式的特點選擇合適的方法求解函數(shù)的值域，本題注意到函數(shù)表達式的兩項均為正項，積為定值．