設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.

(1)設bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．

 

（1）bn＝ (a－3)2n－1，n∈N*.

（2）[－9，＋∞)

【解析】【解析】
(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，

即bn＋1＝2bn，b1＝S1－3＝a－3.

因此，所求通項公式為

bn＝b1·2n－1＝(a－3)2n－1，n∈N*.①

(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，

于是，當n≥2時，

an＝Sn－Sn－1

＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2

＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an

＝4×3n－1＋(a－3)2n－2

＝2n－2·[12()n－2＋a－3]，

當n≥2時，an＋1≥an?12()n－2＋a－3≥0?a≥－9.

又a2＝a1＋3>a1.

所以a的取值范圍是[－9，＋∞)．

 

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