設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且{
Sn
n
}是等差數(shù)列，已知a1=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=12．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，an+1+
λ
an
≥λ恒成立，求λ的取值范圍．
考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（Ⅰ）由已知得
S3
3
=4，從而
Sn
n
=
3
2
n-
1
2
，Sn=
3
2
n2-
1
2
n，由此能求出an=3n-2．
（Ⅱ）由已知得3n+1+
λ
3n-2
≥λ，從而
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
≥λ，設(shè)bn=
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
，由bn的最小值為b2=
28
3
，能求出λ≤
28
3
．
解答： 解：（Ⅰ）∵{
Sn
n
}是等差數(shù)列，a1=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=12．
∴3×
S3
3
=12，∴
S3
3
=4，
∴
Sn
n
=
3
2
n-
1
2
，
∴Sn=
3
2
n2-
1
2
n，
∴an=Sn-Sn-1=3n-2，n≥2，
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴an=3n-2．（6分）
（Ⅱ）∵n≥2時(shí)，an+1+
λ
an
≥λ恒成立，
∴3n+1+
λ
3n-2
≥λ，∴
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
≥λ，（10分）
設(shè)bn=
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
，
bn+1-bn=
(3n+1)(3n+4)
3n
-
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
=
(3n+1)(3n-2)
3n(n-1)
＞0，
∴bn的最小值為b2=
28
3
，
∴λ≤
28
3
．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①“x=2”是“x2=4”的充分不必要條件；
②設(shè)A={x||x|≤3}，B={y|y=-x2+t}，若A∩B=∅，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[3，+∞）；
③若log2x+logx2≥2，則x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命題p：對(duì)任意的x∈R，函數(shù)y=cos（2x-
π
3
）的遞減區(qū)間為[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]（k∈Z），命題q：存在x∈R使tanx=1，則命題“p且q”是真命題．
其中真命題的序號(hào)為（　�。�
A、①②④B、③④⑤
C、②③⑤D、①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
x
1+x
（x＞0），數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=
1
2
，an+1=f（an），函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（n，f（n））（n∈N*）處的切線在y軸上的截距為bn．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{
bn
an2
-
λ
an
}的項(xiàng)中僅
b5
a52
-
λ
a5
最小，求λ的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=
x
1-x
，令函數(shù)h（x）=[f（x）+g（x）]•
1-x2
1+x2
，0＜x＜1，數(shù)列{xn}滿足：x1=
1
2
，0＜xn＜1且xn+1=h（xn）其中n∈N*．證明：
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)p：函數(shù)f（x）=x2-2ax+3在區(qū)間（4，+∞）上單調(diào)遞增；q：loga2＜1．如果“非p”是真命題，“p或q”也是真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
x
+alnx，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）求f（x）的極值；
（2）若對(duì)任意x1，x2∈[1，3]，且x1＜x2，恒有
1
x1
-
1
x2
＞|f（x1）-f（x2）|成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

P是拋物線x2=4y上一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，且|PF|=5，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圖中（1）、（2）、（3）分別是一個(gè)立體模型的正視圖、左視圖、俯視圖，這個(gè)立體模型由若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體組成，則這個(gè)立體模型的體積的所有可能值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=lnx+
1
x
+ax（a∈R），求f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)時(shí)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（a，b）是橢圓
x2
4
+y2=1上的一點(diǎn)，則b
1+a2
的最大值為
 
．

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