給出下列命題:
①“x=2”是“x2=4”的充分不必要條件;
②設A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若A∩B=∅,則實數(shù)t的取值范圍為[3,+∞);
③若log2x+logx2≥2,則x>1;
④存在x,y∈R,使sin(x-y)=sinx-siny;
⑤若命題p:對任意的x∈R,函數(shù)y=cos(2x-
π
3
)的遞減區(qū)間為[kπ-
π
12
,kπ+
12
](k∈Z),命題q:存在x∈R使tanx=1,則命題“p且q”是真命題.
其中真命題的序號為( 。
A、①②④B、③④⑤
C、②③⑤D、①③④
考點:命題的真假判斷與應用
專題:簡易邏輯
分析:①,利用充分必要條件的概念可判斷知x=2⇒x2=4,反之,不行,可判斷①;
②,依題意,可求得A={x|-3≤x≤3},又B={y|y=-x2+t},A∩B=∅,可求得實數(shù)t的取值范圍為t>12或t<-3,可判斷②;
③,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式,可判斷③;
④,舉例x=0,y=0∈R,使sin(x-y)=sinx-siny,可判斷④;
⑤,先利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)y=cos(2x-
π
3
)的遞減區(qū)間,可判斷命題p為假命題,從而可判斷命題“p且q”是假命題,可判斷⑤.
解答: 解:對于①,x=2⇒x2=4,充分性成立,反之,不然,必要性不成立,故①正確;
對于②,由|x|≤3得:-3≤x≤3,即A={x|-3≤x≤3};
又B={y|y=-x2+t},A∩B=∅,
∴y=-x2+t>3或y=-x2+t<-3恒成立,即t>3+x2,或t<x2-3(-3≤x≤3)恒成立,
∴t>12或t<-3,故②錯誤;
則實數(shù)t的取值范圍為[3,+∞);
對于③,∵log2x與logx2互為倒數(shù),
∴當log2x+logx2≥2時,必有l(wèi)og2x>0且log2x=1,即x=2時取“=”,所以x>1,故③正確;
對于④,存在x=0,y=0∈R,使sin(0-0)=sin0-sin0成立,故④正確;
對于⑤,由2kπ≤2x-
π
3
≤2kπ+π(k∈Z)得:kπ+
π
6
≤x≤kπ+
3
(k∈Z),
∴函數(shù)y=cos(2x-
π
3
)的遞減區(qū)間為[kπ+
π
6
,kπ+
3
](k∈Z),即命題p為假命題,于是命題“p且q”是假命題,故⑤錯誤.
綜上所述,真命題的序號為①③④,
故選:D.
點評:本題考查命題的真假判斷與應用,綜合考查充分必要條件的概念、復合命題的真假判斷,考查基本不等式的應用與集合的運算,屬于難題.
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