Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=6，3S_n=a_n+1+2ⁿ⁺²-10．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1}為等比數(shù)列；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{n}}{a_n}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通過3S_n=a_n+1+2ⁿ⁺²-10與3S_n-1=a_n+2ⁿ⁺¹-10作差，整理得4a_n=a_n+1+2ⁿ⁺¹，兩邊同時除以2ⁿ⁺¹整理得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-1=2（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1）（n≥2），驗證當n=1時滿足即可；
（2）通過（1）放縮可知b_n＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，進而利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵3S_n=a_n+1+2ⁿ⁺²-10，
∴當n≥2時，3S_n-1=a_n+2ⁿ⁺¹-10，
兩式相減得：3a_n=a_n+1-a_n+2ⁿ⁺¹，
整理得：4a_n=a_n+1+2ⁿ⁺¹，
兩邊同時除以2ⁿ⁺¹可知2•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-1=2（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1），
又∵a₁=6，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$-1=3-1=2，$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-1=$\frac{3{a}_{1}+10-{2}^{1+2}}{{2}^{2}}$-1=4，
于是數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{a_n}$=$\frac{1}{1+{2}^{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，
于是T_n＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
＜1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．