Question

7．下列三個圖中的多邊形均為正多邊形，A（B）是正多邊形的頂點，橢圓過A（B）且均以圖中的F₁，F(xiàn)₂為焦點，設圖①，②，③中的橢圓的離心率分別為e₁，e₂，e₃，則（　　）

• A． e₁＞e₂＞e₃
• B． e₃＞e₁＞e₂
• C． e₁＜e₃＜e₂
• D． e₁＜e₂＜e₃

Answer 1

分析 由已知圖形把A（B）的坐標用含有c的代數式表示，把A（B）的坐標代入橢圓方程，結合隱含條件分別求出離心率后比較得答案．

解答 解：由圖①知，a=2c，∴${e}_{1}=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
由圖②知，點B（c，2c）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{^{2}}=1$，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，整理得：c⁴-6a²c²+a⁴=0，解得${e}_{2}=\sqrt{2}-1$；
由圖③知，B（$\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}c}{2}$）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上，
∴$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}=1$，則$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4（{a}^{2}-{c}^{2}）}=1$，整理得：${e}_{3}=\sqrt{3}-1$．
∴e₃＞e₁＞e₂．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了正多邊形中的邊角關系，是中檔題．