定義在［－1，1］上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)，時，有．

（1）試問函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由并加以證明.

（2）若對所有，恒成立，

求實數(shù)m的取值范圍．

 

【答案】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)變量作差變形定號下結(jié)論。

（2）實數(shù)m的取值范圍是或或．

【解析】

試題分析：解：（1）假設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩個滿足條件的點A，B，則它們的縱坐標(biāo)相同

任取，且， 則

  4分

因為，

所以，

∴是［－1，1］上的增函數(shù)  6分

這與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，

∴ 函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直  8分

（2）要使得對所有，恒成立，

只須，  11分

由(1)得是［－1，1］上的增函數(shù) ∴

∴對任意的恒成立  3分

令，則只須，

解之得：或或   15分

∴實數(shù)m的取值范圍是或或．  16分

考點：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

點評：解決的關(guān)鍵是利用單調(diào)性的定義證明，同事利用不等式恒成立來化簡為分離參數(shù)的思想來求解最值得到參數(shù)的范圍。

 

練習(xí)冊系列答案
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10、已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
為奇函數(shù)．且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）、求實數(shù)a、b的值．
（2）、求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）、解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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已知定義在區(qū)間（-1，1）上的偶函數(shù)f（x），在（0，1）上為增函數(shù)，f（a-2）-f（4-a2）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿足題設(shè)條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若a、b∈［-1,1］,a+b≠0時，有＞0

判斷函數(shù)f(x)在［-1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論.

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